Геометрическая форма, которая не повторяется при укладке плиткой.

Отчет от 23 марта 2023 г.

Эта статья была проверена в соответствии с редакционным процессом и политикой Science X. Редакторы выделили следующие атрибуты, гарантируя при этом достоверность контента:

проверенный фактами

препринт

надежный источник

корректура

Боб Йирка, Phys.org

Квартет математиков из Йоркширского университета, Кембриджского университета, Университета Ватерлоо и Университета Арканзаса обнаружил двумерную геометрическую форму, которая не повторяется при выкладывании плиткой. Дэвид Смит, Джозеф Сэмюэл Майерс, Крейг Каплан и Хаим Гудман-Штраусс написали статью, описывающую, как они обнаружили уникальную форму и возможные варианты ее использования. Полная версия статьи доступна на сервере препринтов arXiv.

Когда люди укладывают полы плиткой, они, как правило, используют простые геометрические формы, которые поддаются повторяющимся узорам, например квадраты или треугольники. Однако иногда людям нужны узоры, которые не повторяются, но это представляет проблему, если используются одни и те же типы форм. В ходе этой новой работы исследовательская группа обнаружила единую геометрическую форму, которая, если ее использовать для укладки плитки, не будет создавать повторяющиеся узоры.

В своем сценарии исследователи отметили, что под мозаикой подразумевается соединение фигур таким образом, чтобы не было перекрытий или пробелов. Мозаика, не имеющая повторяющихся узоров, известна как апериодическая мозаика и обычно достигается за счет использования нескольких форм плитки. В течение многих лет математики изучали идею создания фигур, которые можно было бы использовать для создания бесконечного разнообразия узоров при укладке плитки.

В результате одной из первых попыток был получен набор из 20 426 плиток. За этим последовала разработка плиток Пенроуза еще в 1974 году, которые представляют собой наборы из двух ромбов разной формы. С тех пор математики продолжали поиски того, что стало известно как форма «Эйнштейна» — единая форма, которую можно было бы использовать для апериодического замощения отдельно.

Примечательно, что название происходит от фразы «один камень» на немецком языке, а не от имени известного физика. В этой новой работе исследовательская группа утверждает, что нашла неуловимую форму Эйнштейна и доказала ее математически.

У формы 13 сторон, и команда называет ее просто «шляпой». Они нашли это, сначала сократив возможности с помощью компьютера, а затем изучив полученные меньшие наборы вручную. Как только у них появилась то, что, по их мнению, было хорошей возможностью, они проверили ее с помощью комбинаторной программы, а затем доказали, что форма была апериодической, используя аргумент геометрической несоизмеримости. В заключение исследователи предполагают, что наиболее вероятным применением шляпы является искусство.

Больше информации: Дэвид Смит и др., Апериодический монотиль, arXiv (2023). DOI: 10.48550/arxiv.2303.10798.

Информация журнала:arXiv

© 2023 Сеть Science X