Подарочная упаковка «Пять апельсинов» перехитрила лучшие математические умы на протяжении нескольких поколений

Идеальное соединение сферических объектов кажется тривиальной задачей, но эта задача веками ставила математиков в тупик.

«Раньше нам дарили только апельсины — и мы были этому рады!» Эту фразу иногда можно услышать, когда пожилой человек критикует щедрую массу подарков, которые получают сегодняшние дети. О чем они упоминают редко, так это о подарочной упаковке. Допустим, вы хотели подарить пять апельсинов: Как бы вы расположили фрукты так, чтобы они занимали как можно меньше места и упаковочной бумаги?

Как оказалось, за этим, казалось бы, безобидным вопросом стоит много математики. В конце концов, потребовалось более 400 лет, чтобы доказать то, что торговцы фруктами знали с незапамятных времен: оптимальная укладка бесконечных шаров в трехмерном пространстве достигается путем их расположения в форме пирамиды. Проверенное решение этой загадки, известное как гипотеза Кеплера, не было опубликовано до 2017 года. Однако ситуация совершенно иная, если рассматривать только конечное число объектов.

Удивительно, но математики не занимались решением последних задач до конца XIX века. Норвежский геометр Аксель Туэ был первым, кто изучил оптимальное расположение конечного числа двумерных кругов в 1892 году. Важные достижения в этой области не последовали до следующих нескольких десятилетий, когда венгерский математик Ласло Фейеш Тот обратился к этой теме.

Чтобы лучше понять проблему, полезно сначала рассмотреть упрощенный двумерный случай. Например, мы можем попытаться расположить несколько монет одного размера как можно более компактно. Для этого обводим их куском веревки, которую плотно стягиваем, и вычисляем площадь, которую охватывает веревка. Для n = 2 монет оптимальное расположение находится быстро: кладем их так, чтобы они касались друг друга. Тогда самая короткая нить, охватывающая обе монеты радиуса r, будет иметь длину (4 + 2π)r.

Эту длину лучше всего рассчитывать по частям: добавьте прямую часть веревки (4 xr) плюс круглые области, которые в сумме окружают круг (2πr). Нить охватывает общую площадь (4 + π)r2. В этом случае, очевидно, не существует более компактного способа размещения монет.

С другой стороны, если у вас есть три монеты, внезапно появляется два разных расположения, которые кажутся экономящими место: либо выстраивают их рядом, либо размещают по углам равностороннего треугольника. В первом случае нить имела бы форму колбаски, поэтому в математике ее называют «колбасной» пачкой. Второй случай специалисты называют «упаковкой пиццы». Но какое расположение более компактно: упаковка для колбасы или упаковка для пиццы?

Оказывается, упаковка для пиццы лучше. Длина этой веревки равна (6 + 2π)r, а покрываемая площадь соответственно (6 + √ 3 + π)r2, тогда как веревка колбасной пачки имеет длину (8 + 2π)r и охватывает площадь ( 8 + π)r2. Если присмотреться, то эту разницу можно увидеть и непосредственно на картинках. Промежутки между монетами в упаковке из колбасы больше, чем в упаковке для пиццы.

Фактически, можно дать общую формулу необходимой длины струны и ограниченной площади. Если разложить n монет в форме колбаски, то понадобится веревка длиной 4(n – 1 + 2π)r, охватывающая площадь 4(n – 1)r2 + πr2. С другой стороны, если монеты разложены по треугольной сетке, форма которой максимально напоминает правильный шестиугольник, то достаточно всего лишь веревки длиной 2(n + π)r, охватывающей площадь (2n + √ 3(n – 2) + π)r2.

Таким образом, мы показали, что упаковка пиццы занимает больше места, чем форма колбасы, для любого количества n кругов. Но всегда ли это оптимально? Определить это – гораздо более сложная задача. Ведь может быть совершенно хаотичное расположение кругов, занимающее еще меньшую площадь. Устранить подобные случаи оказывается крайне сложно. Здесь на помощь приходит венгерский математик Ласло Фейеш Тот. В 1975 году он предположил, что оптимальная упаковка n кругов — это расположение в треугольной решетке, образующей максимально правильную форму шестиугольника.