Журнал Кванта

5 июня 2023 г.

Мэгги Чан для журнала Quanta

Соавтор

5 июня 2023 г.

Математики радуются, когда доказывают существование, казалось бы, невозможных вещей. Так обстоит дело с новым доказательством, опубликованным в Интернете в марте Седриком Пилаттом, аспирантом первого курса Оксфордского университета.

Пилат доказал, что можно создать множество — совокупность чисел — которое удовлетворяет двум, казалось бы, несовместимым свойствам. Во-первых, никакие две пары чисел в наборе не дают в сумме одну и ту же сумму. Например, сложите любые два числа из {1, 3, 5, 11}, и вы всегда получите уникальный номер. Легко построить небольшие «сидоновские» множества, подобные этому, но по мере увеличения числа элементов увеличивается и вероятность того, что суммы совпадут, что разрушает сидонность набора.

Второе требование – набор должен быть очень большим. Оно должно быть бесконечным, и вы должны быть в состоянии сгенерировать любое достаточно большое число, сложив не более трех чисел из набора. Это свойство, которое делает набор «асимптотическим базисом третьего порядка», требует большого и плотного набора чисел. «Они тянут в противоположных направлениях», — сказал Пилат. «Множества Сидона должны быть маленькими, а асимптотический базис должен быть большим. Не было очевидно, что это может работать».

Вопрос о том, существует ли такое множество, сохранялся на протяжении десятилетий, с тех пор как он был поставлен плодовитым венгерским математиком Паулем Эрдешем и двумя его сотрудниками в 1993 году. Увлечение Эрдеша множествами Сидона можно проследить до разговора, который он имел в 1932 году с их изобретателем. Саймон Сидон, который в то время интересовался скоростью роста этих наборов. (Эрдёш позже назовет Сидона «более сумасшедшим, чем средний математик», и почти наверняка имел в виду комплимент.)

Множества Сидона возникают в самых разных математических контекстах, включая теорию чисел, комбинаторику, гармонический анализ и криптографию, но простой вопрос о том, насколько большими они могут стать, был непреходящей загадкой, над которой Эрдеш размышлял большую часть своей карьеры. Эрдеш сразу понял, что наборы Сидона чрезвычайно сложно масштабировать. В 1941 году он и еще один математик доказали, что максимально возможное множество Сидона, все члены которого меньше некоторого целого числа N, должно быть меньше, чем квадратный корень из N плюс член, который растет пропорционально корню четвертой степени из N. (К 1969 году Бернт Линдстрем покажет, что он меньше $latex \sqrt{N}+\sqrt[4]{N}+1$, а в 2021 году другая группа математиков ужесточила ограничение до $latex \sqrt{N}+0,998 \ times \sqrt[4]{N}$.) Другими словами, множества Сидона должны быть разреженными.

Давно известно, что множество Сидона не может быть асимптотическим базисом второго порядка, где любое целое число можно выразить как сумму не более двух чисел. (Например, нечетные числа составляют основу порядка 2.) Как объяснил Пилат, это так просто показать, что математики не удосужились это записать: «То, что порядок 2 невозможен, было, вероятно, известно гораздо раньше, чем он был было прямо написано в литературе». Он объяснил, что это происходит потому, что «последовательности Сидона не могут превышать определенную плотность, в то время как асимптотические базы порядка 2 всегда плотнее этого порога, поэтому два свойства не могут выполняться одновременно».

Обычно считалось, что асимптотический базис третьего порядка можно построить из множества Сидона, но доказать это было другим делом. «Люди полагали, что это должно быть правдой», — сказал советник Пилатта Джеймс Мейнард. «Но возникла проблема с методами, которые мы использовали».

Некоторый прогресс был достигнут до того, как Пилат принял этот вызов. В 2010 году венгерский математик Шандор Кисс показал, что множество Сидона может быть асимптотическим базисом пятого порядка — это означает, что любое достаточно большое целое число может быть записано как сумма не более пяти элементов набора — а в 2013 году Кисс и два из его коллеги доказали гипотезу об асимптотическом базисе порядка 4. Два года спустя испанский математик Хавьер Силлеруэло продвинул эти результаты на шаг дальше, доказав, что можно построить множество Сидона, которое является асимптотическим базисом порядка 3 + e, это означает, что любое достаточно большое целое число N можно записать как сумму четырех членов множества Сидона, причем один из них меньше Ne для сколь угодно малого положительного e.